媒介変数表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (1) $x = \cos t$, $y = \cos 2t$ (2) $x = t\sqrt{t}$, $y = \log t^2$

1. 問題の内容

媒介変数表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $x = \cos t$, $y = \cos 2t$

(2) $x = t\sqrt{t}$, $y = \log t^2$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用います。

まず、$x = \cos t$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

次に、$y = \cos 2t$ を $t$ で微分します。

$\frac{dy}{dt} = -2\sin 2t$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin 2t}{-\sin t} = \frac{2\sin 2t}{\sin t} = \frac{2(2\sin t \cos t)}{\sin t} = 4\cos t$

(2)

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用います。

まず、$x = t\sqrt{t} = t^{3/2}$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{3}{2}t^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{t}$

次に、$y = \log t^2 = 2\log t$ を $t$ で微分します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{2}{t}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2/t}{(3/2)\sqrt{t}} = \frac{2}{t} \cdot \frac{2}{3\sqrt{t}} = \frac{4}{3t\sqrt{t}} = \frac{4}{3t^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 4\cos t$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3t\sqrt{t}}$