与えられた積分を計算します。 $\int \frac{2x-1}{x(x+1)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{2x-1}{x(x+1)^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{2x-1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

両辺に $x(x+1)^2$ を掛けると、

$2x-1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$

$2x-1 = A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) + Cx$

$2x-1 = (A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$2A+B+C = 2$

$A = -1$

$A = -1$ より $B = -A = 1$

$2A+B+C = 2$ に代入すると、

$-2+1+C = 2$

$C = 3$

よって、

$\frac{2x-1}{x(x+1)^2} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}$

積分を計算します。

$\int \frac{2x-1}{x(x+1)^2} dx = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x+1} dx + 3\int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= -\ln|x| + \ln|x+1| + 3\int (x+1)^{-2} dx$

$= -\ln|x| + \ln|x+1| + 3\frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C$

$= -\ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + C$

$= \ln|\frac{x+1}{x}| - \frac{3}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\frac{x+1}{x}| - \frac{3}{x+1} + C$