与えられた積分 $\int \frac{x^4}{x^3+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^4}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子の次数が分母の次数よりも大きいので、割り算を行います。

$x^4$ を $x^3+1$ で割ると、商は $x$、余りは $-x$ となります。したがって、

$\frac{x^4}{x^3+1} = x - \frac{x}{x^3+1}$

元の積分は次のようになります。

$\int \frac{x^4}{x^3+1} dx = \int (x - \frac{x}{x^3+1}) dx = \int x dx - \int \frac{x}{x^3+1} dx$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

次に、$\int \frac{x}{x^3+1} dx$ を計算します。

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ なので、部分分数分解を行います。

$\frac{x}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

$x = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$x = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$x = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 1$

$A+C = 0$

$B = -A$, $C = -A$ を $-A+B+C = 1$ に代入すると、

$-A-A-A = 1$, $-3A = 1$, $A = -\frac{1}{3}$

したがって、$B = \frac{1}{3}$, $C = \frac{1}{3}$

よって、

$\frac{x}{x^3+1} = -\frac{1}{3(x+1)} + \frac{x+1}{3(x^2-x+1)}$

$\int \frac{x}{x^3+1} dx = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{x+1}{x^2-x+1} dx$

$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$

$\int \frac{x+1}{x^2-x+1} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$\int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx = \ln|x^2-x+1|$

$\int \frac{1}{x^2-x+1} dx = \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$

$\int \frac{x+1}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2}\ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{2}\ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$

$\int \frac{x}{x^3+1} dx = -\frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}))$

$\int \frac{x}{x^3+1} dx = -\frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})$

$\int \frac{x^4}{x^3+1} dx = \frac{1}{2}x^2 - [-\frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})] + C$

$\int \frac{x^4}{x^3+1} dx = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + \frac{\ln|x+1|}{3} - \frac{\ln|x^2-x+1|}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$