次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log 3x$ (2) $y = \log_2 (4x-1)$ (3) $y = \log(x^2+1)$ (4) $y = x \log x - x$ ただし、$\log$ は自然対数を表すものとする。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log 3x$

(2) $y = \log_2 (4x-1)$

(3) $y = \log(x^2+1)$

(4) $y = x \log x - x$

ただし、$\log$ は自然対数を表すものとする。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log 3x$

$y = \log 3 + \log x$ と変形できる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log 3 + \log x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

(2) $y = \log_2(4x-1)$

対数の底の変換公式より、

$y = \frac{\log (4x-1)}{\log 2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{4x-1} \cdot 4 = \frac{4}{(4x-1)\log 2}$

(3) $y = \log(x^2+1)$

合成関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

(4) $y = x \log x - x$

積の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \log x + 1 - 1 = \log x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x}$

(2) $\frac{4}{(4x-1)\log 2}$

(3) $\frac{2x}{x^2+1}$

(4) $\log x$