以下の関数を微分する問題です。 問1: $y = (5x + 1)^{-2}$ 問2: $y = \sqrt{x^2 + 1}$ 問3: $y = -\frac{1}{2\sqrt[3]{(2x^2 + x + 3)^2}}$ 問1: $y = (3x + 1)^2 (2x - 1)^3$ 問2: $y = \frac{(2x + 3)^2}{(x - 1)^3}$

1. 問題の内容

以下の関数を微分する問題です。

問1: $y = (5x + 1)^{-2}$

問2: $y = \sqrt{x^2 + 1}$

問3: $y = -\frac{1}{2\sqrt[3]{(2x^2 + x + 3)^2}}$

問1: $y = (3x + 1)^2 (2x - 1)^3$

問2: $y = \frac{(2x + 3)^2}{(x - 1)^3}$

2. 解き方の手順

問1: $y = (5x + 1)^{-2}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = 5x + 1$ とおくと、$y = u^{-2}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$

$\frac{du}{dx} = 5$

$\frac{dy}{dx} = -2(5x + 1)^{-3} \cdot 5 = -10(5x + 1)^{-3}$

問2: $y = \sqrt{x^2 + 1}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

問3: $y = -\frac{1}{2\sqrt[3]{(2x^2 + x + 3)^2}}$ の微分

$y = -\frac{1}{2} (2x^2 + x + 3)^{-2/3}$

$u = 2x^2 + x + 3$とおくと$y = -\frac{1}{2}u^{-2/3}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) u^{-5/3} = \frac{1}{3} u^{-5/3}$

$\frac{du}{dx} = 4x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2x^2 + x + 3)^{-5/3} (4x + 1) = \frac{4x + 1}{3(2x^2 + x + 3)^{5/3}}$

問1: $y = (3x + 1)^2 (2x - 1)^3$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = (3x + 1)^2$, $v = (2x - 1)^3$ とおきます。

$u' = 2(3x + 1) \cdot 3 = 6(3x + 1)$

$v' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$

$\frac{dy}{dx} = 6(3x + 1)(2x - 1)^3 + (3x + 1)^2 \cdot 6(2x - 1)^2$

$= 6(3x + 1)(2x - 1)^2 [(2x - 1) + (3x + 1)] = 6(3x + 1)(2x - 1)^2(5x)$

$= 30x(3x + 1)(2x - 1)^2$

問2: $y = \frac{(2x + 3)^2}{(x - 1)^3}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = (2x + 3)^2$, $v = (x - 1)^3$ とおきます。

$u' = 2(2x + 3) \cdot 2 = 4(2x + 3)$

$v' = 3(x - 1)^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2x + 3)(x - 1)^3 - (2x + 3)^2 \cdot 3(x - 1)^2}{(x - 1)^6}$

$= \frac{(x - 1)^2 [4(2x + 3)(x - 1) - 3(2x + 3)^2]}{(x - 1)^6}$

$= \frac{4(2x^2 + x - 3) - 3(4x^2 + 12x + 9)}{(x - 1)^4} = \frac{8x^2 + 4x - 12 - 12x^2 - 36x - 27}{(x - 1)^4}$

$= \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x - 1)^4}$

3. 最終的な答え

問1: $\frac{dy}{dx} = -10(5x + 1)^{-3}$

問2: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

問3: $\frac{dy}{dx} = \frac{4x + 1}{3(2x^2 + x + 3)^{5/3}}$

問1: $\frac{dy}{dx} = 30x(3x + 1)(2x - 1)^2$

問2: $\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x - 1)^4}$