次の4つの関数を微分する問題です。 問1: $y = (2x + 1)(x^2 - 1)$ 問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$ 問3: $y = (x^2 + 3x)^4$ 問4: $y = \sqrt{3x + 2}$

1. 問題の内容

次の4つの関数を微分する問題です。

問1: $y = (2x + 1)(x^2 - 1)$

問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$

問3: $y = (x^2 + 3x)^4$

問4: $y = \sqrt{3x + 2}$

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

問1: $y = (2x + 1)(x^2 - 1)$

これは積の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

$u = 2x + 1$ と $v = x^2 - 1$ とおくと、

$u' = 2$

$v' = 2x$

したがって、

$y' = 2(x^2 - 1) + (2x + 1)(2x)$

$= 2x^2 - 2 + 4x^2 + 2x$

$= 6x^2 + 2x - 2$

問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$

これは商の微分公式を使います。商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = x + 1$ と $v = 3x - 2$ とおくと、

$u' = 1$

$v' = 3$

したがって、

$y' = \frac{1(3x - 2) - (x + 1)3}{(3x - 2)^2}$

$= \frac{3x - 2 - 3x - 3}{(3x - 2)^2}$

$= \frac{-5}{(3x - 2)^2}$

問3: $y = (x^2 + 3x)^4$

これは合成関数の微分を使います。$y = u^4$ where $u = x^2+3x$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = 2x + 3$

したがって、

$y' = 4(x^2 + 3x)^3 (2x + 3)$

問4: $y = \sqrt{3x + 2}$

これも合成関数の微分を使います。$y = \sqrt{u}$ where $u = 3x + 2$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$y = u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{3x + 2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$

3. 最終的な答え

問1: $y' = 6x^2 + 2x - 2$

問2: $y' = \frac{-5}{(3x - 2)^2}$

問3: $y' = 4(x^2 + 3x)^3 (2x + 3)$

問4: $y' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$