与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。 問1: $y = (2x + 1)(x^2 - 1)$ 問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$ 問3: $y = (x^2 + 3x)^4$ 問4: $y = \sqrt{3x+2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。

問1: $y = (2x + 1)(x^2 - 1)$

問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$

問3: $y = (x^2 + 3x)^4$

問4: $y = \sqrt{3x+2}$

2. 解き方の手順

問1: $y = (2x + 1)(x^2 - 1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x + 1$, $v = x^2 - 1$ とおくと、

$u' = 2$, $v' = 2x$ です。

よって、

$y' = 2(x^2 - 1) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 2 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 2$

問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x + 1$, $v = 3x - 2$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = 3$ です。

よって、

$y' = \frac{1(3x - 2) - (x + 1)3}{(3x - 2)^2} = \frac{3x - 2 - 3x - 3}{(3x - 2)^2} = \frac{-5}{(3x - 2)^2}$

問3: $y = (x^2 + 3x)^4$

合成関数の微分 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$f(u) = u^4$, $g(x) = x^2 + 3x$ とおくと、

$f'(u) = 4u^3$, $g'(x) = 2x + 3$ です。

よって、

$y' = 4(x^2 + 3x)^3(2x + 3)$

問4: $y = \sqrt{3x+2}$

$y = (3x + 2)^{1/2}$ と変形して、合成関数の微分 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$f(u) = u^{1/2}$, $g(x) = 3x + 2$ とおくと、

$f'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$, $g'(x) = 3$ です。

よって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{3x + 2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$

3. 最終的な答え

問1: $y' = 6x^2 + 2x - 2$

問2: $y' = \frac{-5}{(3x - 2)^2}$

問3: $y' = 4(x^2 + 3x)^3(2x + 3)$

問4: $y' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$