次の関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$ (2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$ (3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$ (4) $y = x^2 - 4\log x \quad (1 \le x \le e)$

はい、承知しました。問題の回答を以下に示します。

1. 問題の内容

次の関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$

(3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$

(4) $y = x^2 - 4\log x \quad (1 \le x \le e)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$

まず、導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x = 3, -1$

区間の端点と、$y' = 0$ となる $x$ の値を関数 $y$ に代入します。

$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2$

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$y(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

$y(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20$

したがって、最大値は $5$ ($x = -1$のとき)、最小値は $-27$ ($x = 3$のとき)です。

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$

まず、導関数を求めます。

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 1)(x - 3)$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x = 0, 1, 3$

区間の端点と、$y' = 0$ となる $x$ の値を関数 $y$ に代入します。

$y(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 = -1 - 5 - 5 = -11$

$y(0) = (0)^5 - 5(0)^4 + 5(0)^3 = 0$

$y(1) = (1)^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 = 1 - 5 + 5 = 1$

$y(3) = (3)^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 = 243 - 405 + 135 = -27$

したがって、最大値は $1$ ($x = 1$のとき)、最小値は $-27$ ($x = 3$のとき)です。

(3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$

まず、導関数を求めます。

$y' = \cos x - \sin x$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$

区間の端点と、$y' = 0$ となる $x$ の値を関数 $y$ に代入します。

$y(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$y(\frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$y(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1$

したがって、最大値は $\sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$のとき)、最小値は $-1$ ($x = \pi$のとき)です。

(4) $y = x^2 - 4\log x \quad (1 \le x \le e)$

まず、導関数を求めます。

$y' = 2x - \frac{4}{x} = \frac{2x^2 - 4}{x}$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$

$1 \le x \le e$ なので、$x = \sqrt{2}$

区間の端点と、$y' = 0$ となる $x$ の値を関数 $y$ に代入します。

$y(1) = (1)^2 - 4\log 1 = 1 - 0 = 1$

$y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 4\log \sqrt{2} = 2 - 4(\frac{1}{2} \log 2) = 2 - 2\log 2 \approx 2 - 2(0.693) = 2 - 1.386 = 0.614$

$y(e) = (e)^2 - 4\log e = e^2 - 4 \approx 7.389 - 4 = 3.389$

したがって、最大値は $e^2 - 4$ ($x = e$のとき)、最小値は $2 - 2\log 2$ ($x = \sqrt{2}$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: -27

(2) 最大値: 1, 最小値: -27

(3) 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: -1

(4) 最大値: $e^2 - 4$, 最小値: $2 - 2\log 2$