以下の極限を求める問題です。 * 問3: $\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2}$ * 問4: $\lim_{x \to 0} \sin{x}$ * 問5: $\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x - 3)$ * 問6: $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^2})$ * 問7: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ * 問8: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2} - x)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

* 問3: $\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2}$

* 問4: $\lim_{x \to 0} \sin{x}$

* 問5: $\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x - 3)$

* 問6: $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^2})$

* 問7: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1}$

* 問8: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2} - x)$

2. 解き方の手順

* 問3: $x$ が無限大に近づくと、$x^2$ も無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づきます。よって、$-\frac{1}{x^2}$ も 0 に近づきます。

* 問4: $\sin{x}$ は連続関数なので、$x$ が 0 に近づくと、$\sin{x}$ は $\sin{0}$ に近づきます。$\sin{0} = 0$ です。

* 問5: $x^2 - 2x - 3$ は多項式関数なので、連続関数です。したがって、$x$ が -1 に近づくと、$x^2 - 2x - 3$ は $(-1)^2 - 2(-1) - 3$ に近づきます。

$(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$

* 問6: $x$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づきます。したがって、$1 + \frac{1}{x^2}$ は $1 + 0 = 1$ に近づきます。

* 問7: 分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

$x$ が無限大に近づくと、$\frac{3}{x}$ と $\frac{1}{x}$ は 0 に近づきます。したがって、$\frac{x + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ は $\frac{x}{1} = x$ に近づきます。よって、極限は無限大に発散します。

* 問8: 無理関数を含む極限なので、有理化を行います。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2} - x)(\sqrt{x^2 + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + 2} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x^2 + 2} + x}$

$x$ が無限大に近づくと、$\sqrt{x^2 + 2}$ と $x$ も無限大に近づきます。したがって、$\sqrt{x^2 + 2} + x$ は無限大に近づきます。よって、$\frac{2}{\sqrt{x^2 + 2} + x}$ は 0 に近づきます。

3. 最終的な答え

* 問3: 0

* 問4: 0

* 問5: 0

* 問6: 1

* 問7: $\infty$ (または「発散」)

* 問8: 0