関数 $f(x) = \log(1 + x - 6x^2)$ のマクローリン展開を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1 + x - 6x^2)$ のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + x - 6x^2$ を因数分解します。

$1 + x - 6x^2 = (1 - 2x)(1 + 3x)$

したがって、$f(x) = \log((1 - 2x)(1 + 3x))$ となります。

対数の性質を用いて、関数を変形します。

$f(x) = \log(1 - 2x) + \log(1 + 3x)$

$\log(1 + x)$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

これを利用して、$f(x)$ を展開します。

$\log(1 - 2x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(-2x)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(-1)^n 2^n x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n+1} \frac{2^n x^n}{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n}$

$\log(1 + 3x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(3x)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{3^n x^n}{n}$

したがって、

$f(x) = \log(1 - 2x) + \log(1 + 3x) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{3^n x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^n - 2^n}{n} x^n$

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^n - 2^n}{n} x^n$

3. 最終的な答え

$\log(1 + x - 6x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}3^n - 2^n}{n}x^n$