この問題は、三角関数の値を求める問題と、関数の極限を求める問題の2つの部分から構成されています。 三角関数の問題では、$sin(30^{\circ})$、$cos(45^{\circ})$、$tan(60^{\circ})$、$cos(180^{\circ})$の値を求める必要があります。 極限の問題では、$lim_{x \to +0} \frac{1}{x}$と$lim_{x \to +0} 3^x$の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

この問題は、三角関数の値を求める問題と、関数の極限を求める問題の2つの部分から構成されています。

三角関数の問題では、$sin(30^{\circ})$、$cos(45^{\circ})$、$tan(60^{\circ})$、$cos(180^{\circ})$の値を求める必要があります。

極限の問題では、$lim_{x \to +0} \frac{1}{x}$と$lim_{x \to +0} 3^x$の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

三角関数の値を求める問題：

* $sin(30^{\circ})$は、単位円または30-60-90度の三角形の辺の比から、$1/2$であることがわかります。

* $cos(45^{\circ})$は、単位円または45-45-90度の三角形の辺の比から、$\frac{\sqrt{2}}{2}$であることがわかります。

* $tan(60^{\circ})$は、$tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}$の関係と、$sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$であることから、$tan(60^{\circ}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$となります。

* $cos(180^{\circ})$は、単位円上の点を考えると、$x$座標は$-1$となるので、$cos(180^{\circ}) = -1$です。

極限を求める問題：

* $lim_{x \to +0} \frac{1}{x}$ は、$x$が正の方向から0に近づくとき、$1/x$は正の無限大に発散します。

* $lim_{x \to +0} 3^x$ は、$x$が0に近づくとき、$3^x$は1に近づきます。

3. 最終的な答え

三角関数の値：

* $sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

* $cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$

* $cos(180^{\circ}) = -1$

極限の値：

* $lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = \infty$ (正の無限大)

* $lim_{x \to +0} 3^x = 1$