与えられた関数の指定された $x$ の値における接線の方程式を求める。 (1) $y = x^2 - x$ , $x=3$ (2) $y = \frac{1}{x}$ , $x=2$ (3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ , $x=8$ (4) $y = e^{2x}$ , $x=0$

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された $x$ の値における接線の方程式を求める。

(1) $y = x^2 - x$ , $x=3$

(2) $y = \frac{1}{x}$ , $x=2$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ , $x=8$

(4) $y = e^{2x}$ , $x=0$

2. 解き方の手順

接線の方程式は、$y = f'(a)(x-a) + f(a)$ で与えられる。ここで、$f'(a)$ は $x=a$ における微分係数である。

(1) $y = x^2 - x$, $x=3$ の場合

まず、$f'(x)$ を求める:

$f'(x) = 2x - 1$

$x=3$ のときの微分係数は $f'(3) = 2(3) - 1 = 5$

$x=3$ のときの $y$ の値は $f(3) = (3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

接線の方程式は、$y = 5(x-3) + 6 = 5x - 15 + 6 = 5x - 9$

(2) $y = \frac{1}{x}$, $x=2$ の場合

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

$f'(2) = -\frac{1}{(2)^2} = -\frac{1}{4}$

$f(2) = \frac{1}{2}$

接線の方程式は、$y = -\frac{1}{4}(x-2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{2/3}$, $x=8$ の場合

$f'(x) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 2x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

$f'(8) = \frac{2}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{2} = 1$

$f(8) = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 3(4) = 12$

接線の方程式は、$y = 1(x-8) + 12 = x - 8 + 12 = x + 4$

(4) $y = e^{2x}$, $x=0$ の場合

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f'(0) = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2(1) = 2$

$f(0) = e^{2(0)} = e^0 = 1$

接線の方程式は、$y = 2(x-0) + 1 = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 9$

(2) $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = x + 4$

(4) $y = 2x + 1$