与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ で、$x = 3$ の場合。 (2) $y = \tan x$ で、$x = \frac{\pi}{4}$ の場合。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ で、$x = 3$ の場合。

(2) $y = \tan x$ で、$x = \frac{\pi}{4}$ の場合。

2. 解き方の手順

法線の方程式を求めるには、まず接線の方程式を求める必要があります。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の場合

1. $y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 - 6x$

2. $x = 3$ における $y'$ の値を求め、これが接線の傾きになります。

$y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$

3. $x = 3$ における $y$ の値を求めます。

$y(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 1 = 27 - 27 - 1 = -1$

したがって、接点は $(3, -1)$ です。

4. 接線の傾きが9なので、法線の傾きは $-\frac{1}{9}$ です。

5. 点 $(3, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{9}$ の直線の方程式を求めます。これが法線の方程式です。

$y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} - 1$

$y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = \tan x$ の場合

1. $y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

2. $x = \frac{\pi}{4}$ における $y'$ の値を求め、これが接線の傾きになります。

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2 (\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

3. $x = \frac{\pi}{4}$ における $y$ の値を求めます。

$y(\frac{\pi}{4}) = \tan (\frac{\pi}{4}) = 1$

したがって、接点は $(\frac{\pi}{4}, 1)$ です。

4. 接線の傾きが2なので、法線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

5. 点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求めます。これが法線の方程式です。

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$