与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの曲線と対応する $x$ の値に対して接線を求めます。 (1) $y = x^2 - x$ ($x = 3$) (2) $y = \frac{1}{x}$ ($x = 2$) (3) $y = 3 \sqrt[3]{x^2}$ ($x = 8$) (4) $y = e^{2x}$ ($x = 0$)

## 回答

1. 問題の内容

与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの曲線と対応する $x$ の値に対して接線を求めます。

(1) $y = x^2 - x$ ($x = 3$)

(2) $y = \frac{1}{x}$ ($x = 2$)

(3) $y = 3 \sqrt[3]{x^2}$ ($x = 8$)

(4) $y = e^{2x}$ ($x = 0$)

2. 解き方の手順

接線の方程式は一般的に、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標であり、$m$ は接線の傾きです。

各問題について、以下の手順で接線を求めます。

(a) 接点の $y$ 座標 ($y_1$) を求める：与えられた $x$ の値を曲線の式に代入して $y$ を計算します。

(b) 接線の傾き ($m$) を求める：曲線の式を微分して導関数を求め、与えられた $x$ の値を代入して接線の傾きを計算します。

(c) 接線の方程式を求める：求めた $x_1$, $y_1$, $m$ の値を接線の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ に代入し、式を整理します。

(1) $y = x^2 - x$ ($x = 3$)

(a) $y_1 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

(b) $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ なので、$m = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

(c) $y - 6 = 5(x - 3)$ より、$y = 5x - 15 + 6$ となり、$y = 5x - 9$

(2) $y = \frac{1}{x}$ ($x = 2$)

(a) $y_1 = \frac{1}{2}$

(b) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ なので、$m = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$

(c) $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$ より、$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ となり、$y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = 3 \sqrt[3]{x^2} = 3x^{\frac{2}{3}}$ ($x = 8$)

(a) $y_1 = 3 \sqrt[3]{8^2} = 3 \sqrt[3]{64} = 3 \cdot 4 = 12$

(b) $\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = 2 x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ なので、$m = \frac{2}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{2} = 1$

(c) $y - 12 = 1(x - 8)$ より、$y = x - 8 + 12$ となり、$y = x + 4$

(4) $y = e^{2x}$ ($x = 0$)

(a) $y_1 = e^{2(0)} = e^0 = 1$

(b) $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$ なので、$m = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2$

(c) $y - 1 = 2(x - 0)$ より、$y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 9$

(2) $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = x + 4$

(4) $y = 2x + 1$