与えられた3つの極限を、漸近展開を用いて計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x\sin x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - xe^x + x^2}{x(\cos x - 1)}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を、漸近展開を用いて計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x\sin x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - xe^x + x^2}{x(\cos x - 1)}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin x$と$\cos x$を$x=0$のまわりでテイラー展開します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + O(x^4)$

これらを代入して計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(x - \frac{x^3}{6} + ...) - x(1 - \frac{x^2}{2} + ...)}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} + x^2 - \frac{x^4}{6} - x + \frac{x^3}{2} + ...}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^3}{3} + ...}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{3} + ...) = 1$

(2)

$e^{x^2}$と$\cos x$を$x=0$のまわりでテイラー展開します。

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + O(x^6)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

これらを代入して計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2+...) - (1 - \frac{x^2}{2} + ...)}{x(x - \frac{x^3}{6} + ...)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x^2}{2} + ...}{x^2 - \frac{x^4}{6} + ...}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + ...}{1 - \frac{x^2}{6} + ...} = \frac{3}{2}$

(3)

$\sin x$, $e^x$, $\cos x$を$x=0$のまわりでテイラー展開します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + O(x^3)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + O(x^4)$

これらを代入して計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + ...) - x(1 + x + \frac{x^2}{2} + ...) + x^2}{x(1 - \frac{x^2}{2} + ... - 1)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} - x - x^2 - \frac{x^3}{2} + x^2 + ...}{x(-\frac{x^2}{2} + ...)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2x^3}{3} + ...}{-\frac{x^3}{2} + ...}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2}{3} + ...}{-\frac{1}{2} + ...} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $\frac{4}{3}$