次の2つの関数について、増減、凹凸、および極限を調べ、グラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{e^x}{x^2}$ (2) $y = \frac{\log x}{x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、増減、凹凸、および極限を調べ、グラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{e^x}{x^2}$

(2) $y = \frac{\log x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{e^x}{x^2}$について

* **定義域:** $x \neq 0$

* **導関数:**

$y' = \frac{e^x x^2 - e^x (2x)}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$

$y' = 0$ となるのは $x = 2$。

* **第2次導関数:**

$y'' = \frac{e^x(x-2) + e^x}{x^3} - \frac{3e^x(x-2)}{x^4}= \frac{e^x (x^2 - 4x + 6)}{x^4}$

$x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 + 2 > 0$ より、$y''$ は常に正。

* **増減表:**

| x | -∞ | ... | 0 | ... | 2 | ... | +∞ |

| :---- | :- | :-- | :---- | :-- | :---- | :-- | :- |

| y' | | - | 不定 | - | 0 | + | |

| y'' | | + | 不定 | + | + | + | |

| y | 0 | ↓ | 不定 | ↓ | e^2/4 | ↑ | +∞ |

* **極限:**

* $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \infty$ （ロピタルの定理を2回使う）

* $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^2} = 0$

* $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x^2} = \infty$

* $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x^2} = \infty$

* **グラフの概形:**

$x=2$ で極小値 $e^2/4$ を持つ。$x \to \pm \infty$ で $y \to \infty$, $x \to -\infty$で$y \to 0$。$x \to 0$ で $y \to \infty$。常に上に凸。

(2) $y = \frac{\log x}{x}$について

* **定義域:** $x > 0$

* **導関数:**

$y' = \frac{\frac{1}{x}x - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = e$。

* **第2次導関数:**

$y'' = \frac{-\frac{1}{x}x^2 - (1-\log x)2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$

$y'' = 0$ となるのは $\log x = \frac{3}{2}$, つまり $x = e^{3/2}$。

* **増減表:**

| x | 0 | ... | e | ... | e^(3/2) | ... | +∞ |

| :---- | :- | :-- | :---- | :-- | :------ | :-- | :- |

| y' | | + | 0 | - | | - | |

| y'' | | - | - | - | 0 | + | |

| y | -∞ | ↑ | 1/e | ↓ | | ↓ | 0 |

* **極限:**

* $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ （ロピタルの定理を使う）

* $\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x} = -\infty$

* **グラフの概形:**

$x=e$ で極大値 $1/e$ を持つ。$x \to \infty$ で $y \to 0$, $x \to 0$ で $y \to -\infty$。$x = e^{3/2}$ で変曲点を持つ。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{e^x}{x^2}$: $x=2$ で極小値 $e^2/4$ を持つ。$\lim_{x \to \infty} y = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = 0$, $\lim_{x \to 0} y = \infty$。

(2) $y = \frac{\log x}{x}$: $x=e$ で極大値 $1/e$ を持つ。$\lim_{x \to \infty} y = 0$, $\lim_{x \to 0^+} y = -\infty$。$x = e^{3/2}$ で変曲点を持つ。