次の関数を対数微分法で微分する。ただし、$x>0$とする。 (1) $y = (2x)^x$ (2) $y = x^{\sin x}$

1. 問題の内容

次の関数を対数微分法で微分する。ただし、$x>0$とする。

(1) $y = (2x)^x$

(2) $y = x^{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x)^x$ の場合：

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (2x)^x = x \ln (2x)$.

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + x \cdot \frac{2}{2x} = \ln(2x) + 1$.

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(2x) + 1) = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$.

(2) $y = x^{\sin x}$ の場合：

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{\sin x}) = (\sin x) \ln x$.

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \ln x + (\sin x) \frac{1}{x}$.

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( (\cos x) \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$