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この問題は、三角関数の値、対数の計算、関数の微分、不定積分という4つの分野に分かれています。 (1) 三角関数の値を求める問題です。$\sin(-\frac{5\pi}{6})$, $\cos(\frac{3\pi}{4})$, $\tan(\frac{7\pi}{6})$を計算します。 (2) 対数の計算を行う問題です。$\log_{27}{4} + 3\log_{2}{\frac{3}{2}}$, $2\log_{10}{\frac{\sqrt{3}}{10}} - \log_{10}{30}$を計算します。 (3) 関数の微分を行う問題です。$y=x^4$, $y=3\sqrt{x}$, $y=\cos{x}$, $y=x^3\sin{x}$, $y=\tan{x}+e^x$, $y=\cos{x^2}$, $y=(x^2+1)^{-1/3}$, $y=x^x$, $y=xe^{2x+3}$ をそれぞれ微分します。 (4) 不定積分を計算する問題です。$\int (x^2+1) dx$, $\int \cos x dx$, $\int xe^x dx$, $\int 2\sqrt{x} dx$, $\int \frac{1}{x \log x}dx$, $\int \sqrt{2x-3} dx$, $\int_{-1}^2 4xdx$, $\int_0^\pi \sin x dx$, $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x}dx$を計算します。

解析学三角関数対数微分不定積分合成関数積の微分部分積分
2025/8/2
はい、承知いたしました。それでは、問題文に記載されている問題について、順に解説・解答します。

1. 問題の内容

この問題は、三角関数の値、対数の計算、関数の微分、不定積分という4つの分野に分かれています。
(1) 三角関数の値を求める問題です。sin⁡(−5π6)\sin(-\frac{5\pi}{6}), cos⁡(3π4)\cos(\frac{3\pi}{4}), tan⁡(7π6)\tan(\frac{7\pi}{6})を計算します。
(2) 対数の計算を行う問題です。log⁡274+3log⁡232\log_{27}{4} + 3\log_{2}{\frac{3}{2}}, 2log⁡10310−log⁡10302\log_{10}{\frac{\sqrt{3}}{10}} - \log_{10}{30}を計算します。
(3) 関数の微分を行う問題です。y=x4y=x^4, y=3xy=3\sqrt{x}, y=cos⁡xy=\cos{x}, y=x3sin⁡xy=x^3\sin{x}, y=tan⁡x+exy=\tan{x}+e^x, y=cos⁡x2y=\cos{x^2}, y=(x2+1)−1/3y=(x^2+1)^{-1/3}, y=xxy=x^x, y=xe2x+3y=xe^{2x+3} をそれぞれ微分します。
(4) 不定積分を計算する問題です。∫(x2+1)dx\int (x^2+1) dx, ∫cos⁡xdx\int \cos x dx, ∫xexdx\int xe^x dx, ∫2xdx\int 2\sqrt{x} dx, ∫1xlog⁡xdx\int \frac{1}{x \log x}dx, ∫2x−3dx\int \sqrt{2x-3} dx, ∫−124xdx\int_{-1}^2 4xdx, ∫0πsin⁡xdx\int_0^\pi \sin x dx, ∫1e(log⁡x)2xdx\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x}dxを計算します。

2. 解き方の手順

(1) 三角関数の値
* sin⁡(−5π6)=−sin⁡(5π6)=−sin⁡(π−π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
* cos⁡(3π4)=cos⁡(π−π4)=−cos⁡(π4)=−22\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
* tan⁡(7π6)=tan⁡(π+π6)=tan⁡(π6)=13=33\tan(\frac{7\pi}{6}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
(2) 対数の計算
* log⁡274+3log⁡232=log⁡34log⁡327+3(log⁡23−log⁡22)=2log⁡323+3log⁡23−3=23log⁡32+3log⁡23−3\log_{27}{4} + 3\log_{2}{\frac{3}{2}} = \frac{\log_3 4}{\log_3 27} + 3(\log_2 3 - \log_2 2) = \frac{2\log_3 2}{3} + 3\log_2 3 - 3 = \frac{2}{3} \log_3 2 + 3 \log_2 3 - 3
23log⁡32+3log⁡23−3=23log⁡2log⁡3+3log⁡3log⁡2−3\frac{2}{3} \log_3 2 + 3 \log_2 3 - 3 = \frac{2}{3} \frac{\log 2}{\log 3} + 3 \frac{\log 3}{\log 2} - 3
* 2log⁡10310−log⁡1030=2(log⁡103−log⁡1010)−log⁡1030=2(12log⁡103−1)−(log⁡103+log⁡1010)=log⁡103−2−log⁡103−1=−32\log_{10}{\frac{\sqrt{3}}{10}} - \log_{10}{30} = 2(\log_{10}{\sqrt{3}} - \log_{10}{10}) - \log_{10}{30} = 2(\frac{1}{2}\log_{10}{3} - 1) - (\log_{10}{3} + \log_{10}{10}) = \log_{10}{3} - 2 - \log_{10}{3} - 1 = -3
(3) 関数の微分
* y=x4⇒y′=4x3y = x^4 \Rightarrow y' = 4x^3
* y=3x=3x1/2⇒y′=3⋅12x−1/2=32xy = 3\sqrt{x} = 3x^{1/2} \Rightarrow y' = 3 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}
* y=cos⁡x⇒y′=−sin⁡xy = \cos x \Rightarrow y' = -\sin x
* y=x3sin⁡x⇒y′=3x2sin⁡x+x3cos⁡xy = x^3 \sin x \Rightarrow y' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x (積の微分)
* y=tan⁡x+ex⇒y′=1cos⁡2x+exy = \tan x + e^x \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^2 x} + e^x
* y=cos⁡(x2)⇒y′=−sin⁡(x2)⋅2x=−2xsin⁡(x2)y = \cos(x^2) \Rightarrow y' = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2) (合成関数の微分)
* y=(x2+1)−1/3⇒y′=−13(x2+1)−4/3⋅2x=−2x3(x2+1)4/3y = (x^2 + 1)^{-1/3} \Rightarrow y' = -\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-4/3} \cdot 2x = -\frac{2x}{3(x^2+1)^{4/3}} (合成関数の微分)
* y=xx⇒log⁡y=xlog⁡x⇒y′y=log⁡x+x⋅1x=log⁡x+1⇒y′=xx(log⁡x+1)y = x^x \Rightarrow \log y = x \log x \Rightarrow \frac{y'}{y} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1 \Rightarrow y' = x^x (\log x + 1) (対数微分法)
* y=xe2x+3⇒y′=e2x+3+xe2x+3⋅2=e2x+3+2xe2x+3=(1+2x)e2x+3y = xe^{2x+3} \Rightarrow y' = e^{2x+3} + x e^{2x+3} \cdot 2 = e^{2x+3} + 2xe^{2x+3} = (1+2x)e^{2x+3} (積の微分, 合成関数の微分)
(4) 不定積分
* ∫(x2+1)dx=13x3+x+C\int (x^2+1) dx = \frac{1}{3}x^3 + x + C
* ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C
* ∫xexdx=∫x(ex)′dx=xex−∫exdx=xex−ex+C=(x−1)ex+C\int xe^x dx = \int x(e^x)'dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C (部分積分)
* ∫2xdx=2∫x1/2dx=2⋅23x3/2+C=43xx+C\int 2\sqrt{x} dx = 2\int x^{1/2} dx = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = \frac{4}{3} x\sqrt{x} + C
* ∫1xlog⁡xdx=∫(log⁡x)′log⁡xdx=log⁡∣log⁡x∣+C\int \frac{1}{x\log x} dx = \int \frac{(\log x)'}{\log x} dx = \log |\log x| + C
* ∫2x−3dx=12∫(2x−3)1/2(2)dx=12⋅23(2x−3)3/2+C=13(2x−3)2x−3+C\int \sqrt{2x-3} dx = \frac{1}{2} \int (2x-3)^{1/2} (2) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x-3)^{3/2} + C = \frac{1}{3} (2x-3)\sqrt{2x-3} + C
* ∫−124xdx=[2x2]−12=2(22)−2(−1)2=8−2=6\int_{-1}^2 4x dx = [2x^2]_{-1}^2 = 2(2^2) - 2(-1)^2 = 8 - 2 = 6
* ∫0πsin⁡xdx=[−cos⁡x]0π=−cos⁡π−(−cos⁡0)=−(−1)−(−1)=1+1=2\int_0^\pi \sin x dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1+1=2
* ∫1e(log⁡x)2xdx=∫1e(log⁡x)2(log⁡x)′dx=[13(log⁡x)3]1e=13(log⁡e)3−13(log⁡1)3=13(1)3−13(0)3=13\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int_1^e (\log x)^2 (\log x)' dx = [\frac{1}{3} (\log x)^3]_1^e = \frac{1}{3} (\log e)^3 - \frac{1}{3}(\log 1)^3 = \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{3} (0)^3 = \frac{1}{3}

3. 最終的な答え

(1)
* sin⁡(−5π6)=−12\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
* cos⁡(3π4)=−22\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
* tan⁡(7π6)=33\tan(\frac{7\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}
(2)
* log⁡274+3log⁡232=23log⁡32+3log⁡23−3\log_{27}{4} + 3\log_{2}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \log_3 2 + 3 \log_2 3 - 3
* 2log⁡10310−log⁡1030=−32\log_{10}{\frac{\sqrt{3}}{10}} - \log_{10}{30} = -3
(3)
* y=x4⇒y′=4x3y = x^4 \Rightarrow y' = 4x^3
* y=3x⇒y′=32xy = 3\sqrt{x} \Rightarrow y' = \frac{3}{2\sqrt{x}}
* y=cos⁡x⇒y′=−sin⁡xy = \cos x \Rightarrow y' = -\sin x
* y=x3sin⁡x⇒y′=3x2sin⁡x+x3cos⁡xy = x^3 \sin x \Rightarrow y' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x
* y=tan⁡x+ex⇒y′=1cos⁡2x+exy = \tan x + e^x \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^2 x} + e^x
* y=cos⁡(x2)⇒y′=−2xsin⁡(x2)y = \cos(x^2) \Rightarrow y' = -2x \sin(x^2)
* y=(x2+1)−1/3⇒y′=−2x3(x2+1)4/3y = (x^2 + 1)^{-1/3} \Rightarrow y' = -\frac{2x}{3(x^2+1)^{4/3}}
* y=xx⇒y′=xx(log⁡x+1)y = x^x \Rightarrow y' = x^x (\log x + 1)
* y=xe2x+3⇒y′=(1+2x)e2x+3y = xe^{2x+3} \Rightarrow y' = (1+2x)e^{2x+3}
(4)
* ∫(x2+1)dx=13x3+x+C\int (x^2+1) dx = \frac{1}{3}x^3 + x + C
* ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C
* ∫xexdx=(x−1)ex+C\int xe^x dx = (x-1)e^x + C
* ∫2xdx=43xx+C\int 2\sqrt{x} dx = \frac{4}{3} x\sqrt{x} + C
* ∫1xlog⁡xdx=log⁡∣log⁡x∣+C\int \frac{1}{x\log x} dx = \log |\log x| + C
* ∫2x−3dx=13(2x−3)2x−3+C\int \sqrt{2x-3} dx = \frac{1}{3} (2x-3)\sqrt{2x-3} + C
* ∫−124xdx=6\int_{-1}^2 4x dx = 6
* ∫0πsin⁡xdx=2\int_0^\pi \sin x dx = 2
* ∫1e(log⁡x)2xdx=13\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{1}{3}

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