与えられた4つの積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{(2x+3)^2} dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$。

よって、

$\int \frac{1}{(2x+3)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(2x+3)} + C$

(2) $\int e^{2x} \cos x dx$

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{2x} \cos x dx$

$u = \cos x, dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx, v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos x - \int \frac{1}{2}e^{2x}(-\sin x) dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x}\sin x dx$

次に、$\int e^{2x}\sin x dx$ を部分積分する。

$u = \sin x, dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = \cos x dx, v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int e^{2x}\sin x dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cos x dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{2} I$

よって、$I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos x + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{2} I)$

$I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{2x}\sin x - \frac{1}{4} I$

$\frac{5}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{2x}\sin x$

$I = \frac{4}{5}(\frac{1}{2}e^{2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{2x}\sin x) = \frac{2}{5}e^{2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{2x}\sin x = \frac{1}{5}e^{2x}(2\cos x + \sin x)$

したがって、$I = \frac{1}{5}e^{2x}(\sin x + 2\cos x) + C$

(3) $\int \frac{x+7}{(x-1)(x+3)} dx$

部分分数分解を行う。

$\frac{x+7}{(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}$

$x+7 = A(x+3) + B(x-1)$

$x=1$ のとき、$8 = 4A$ より、$A=2$。

$x=-3$ のとき、$4 = -4B$ より、$B=-1$。

よって、

$\int \frac{x+7}{(x-1)(x+3)} dx = \int (\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+3}) dx = 2\ln|x-1| - \ln|x+3| + C = \ln\frac{(x-1)^2}{|x+3|} + C$

$\frac{(x-1)^2}{|x+3|} = \frac{(x^2-2x+1)}{|x+3|}$ なので、これは与えられた形とは異なり、別の表記で計算する。

$\ln\frac{(x-1)^2}{|x+3|} = \ln(\frac{x+7}{(x-1)(x+3)})dx$ とはならないので、部分分数の結果から$\ln\frac{(x-1)^2}{|x+3|}+C = \ln(\frac{x+a}{x+b})^c + C$の形にならないか考え直す

(4) $\int_0^3 |x-1| dx$

$x<1$ のとき $|x-1| = 1-x$

$x \geq 1$ のとき $|x-1| = x-1$

$\int_0^3 |x-1| dx = \int_0^1 (1-x) dx + \int_1^3 (x-1) dx = [x-\frac{1}{2}x^2]_0^1 + [\frac{1}{2}x^2-x]_1^3 = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{9}{2}-3) - (\frac{1}{2}-1) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -1, ウ: 4, エ: 6

(2) オ: 1, キ: 2, カ: 5, ク: 2

(3) サ: 2 ,ケコ: -1, シ: 3

(4) ス: 5, セ: 2