次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$ (3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$ (4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$ について

$\tan^{-1} x$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を考えると、$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ である。したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots}{x} = \lim_{x \to +0} (1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} - \dots) = 1$

もしくは、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{1+x^2} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$ について

$x \to 0$ のとき、$x^2 \to 0$ であり、$e^x \to e^0 = 1$ である。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x} = \frac{0}{1} = 0$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$ について

これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{3^x \log 3 - 2^x \log 2}{1} = \log 3 - \log 2 = \log \frac{3}{2}$

あるいは、$a^x = e^{x \log a}$ とすると、$a^x = 1 + x \log a + O(x^2)$ であるから

$\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{(1 + x \log 3) - (1 + x \log 2)}{x} = \log 3 - \log 2 = \log \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$ について

$\tan x \sim x$ （$x \to 0$ のとき）であるから、$\lim_{x \to +0} x \log(\tan x) = \lim_{x \to +0} x \log x$ を考える。

$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to +0$ のとき、$t \to \infty$ である。

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t}$

ロピタルの定理を用いると、$\lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\frac{1}{t}}{1} = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} x \log(\tan x) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) $\log \frac{3}{2}$

(4) 0