$k$ を実数の定数として、$\theta$ の方程式 $\tan \theta = k$ (①) と不等式 $2\cos \theta + 1 \geq 0$ (②) が与えられています。 (1) $k=1$ のとき、$0 \leq \theta < 2\pi$ において、①を解きます。 (2) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、②を解きます。 (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ における ① の解は2個あるとします。その2個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めます。 (4) (2) で求めた $\theta$ の値の範囲における ① の解が、2個あるときを考えます。その2個の解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とします。 (i) $k$ のとり得る値の範囲を求めます。 (ii) $\alpha + \beta \geq \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$k$ を実数の定数として、$\theta$ の方程式 $\tan \theta = k$ (①) と不等式 $2\cos \theta + 1 \geq 0$ (②) が与えられています。

(1) $k=1$ のとき、$0 \leq \theta < 2\pi$ において、①を解きます。

(2) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、②を解きます。

(3) $0 \leq \theta < 2\pi$ における ① の解は2個あるとします。その2個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めます。

(4) (2) で求めた $\theta$ の値の範囲における ① の解が、2個あるときを考えます。その2個の解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とします。

(i) $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

(ii) $\alpha + \beta \geq \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $k=1$ のとき、$\tan \theta = 1$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) を解きます。$\tan \theta = 1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi$ です。

(2) $2\cos \theta + 1 \geq 0$ より、$\cos \theta \geq -\frac{1}{2}$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) を解きます。

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{2}{3}\pi$ と $\frac{4}{3}\pi$ です。よって、$\frac{2}{3}\pi \leq \theta \leq \frac{4}{3}\pi$ を除いた範囲が解となります。

したがって、$0 \leq \theta \leq \frac{2}{3}\pi$, $\frac{4}{3}\pi \leq \theta < 2\pi$ が解となります。

(3) $\tan \theta = k$ の解が2個あり、それらの和が $\frac{4}{3}\pi$ となる $k$ を求めます。

$\tan \theta$ は周期 $\pi$ の関数なので、$\theta_1$ を解の一つとすると、もう一つの解は $\theta_1 + \pi$ となります。

$\theta_1 + (\theta_1 + \pi) = \frac{4}{3}\pi$ より $2\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ 、よって $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ です。

$\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\theta_2 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ です。

したがって、$k = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

(4)

(i) (2)で求めた範囲 $0 \leq \theta \leq \frac{2}{3}\pi$, $\frac{4}{3}\pi \leq \theta < 2\pi$ において、$\tan \theta = k$ の解が2個あるときの $k$ の範囲を考えます。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されません。

$0 \leq \theta \leq \frac{2}{3}\pi$ の範囲で $\tan \theta$ は $0$ から $\tan \frac{2}{3}\pi = -\sqrt{3}$ まで単調増加します。

$\frac{4}{3}\pi \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan \theta$ は $\tan \frac{4}{3}\pi = \sqrt{3}$ から $0$ まで単調減少します。

したがって、$k$ の取りうる範囲は $k \leq -\sqrt{3}$ または $k \geq \sqrt{3}$ であれば $\tan \theta = k$の解は一つしか存在しません。

したがって $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$ です。

(ii) $\alpha + \beta \geq \frac{7}{4}\pi$ となる $k$ の範囲を求めます。

$\beta = \alpha + \pi$ なので、$\alpha + \alpha + \pi \geq \frac{7}{4}\pi$ より $2\alpha \geq \frac{3}{4}\pi$ となり、$\alpha \geq \frac{3}{8}\pi$ です。

$\tan \alpha = k$ なので $k = \tan \alpha \geq \tan \frac{3}{8}\pi$

$\frac{4}{3}\pi \leq \beta < 2\pi$ より $\frac{4}{3}\pi \leq \alpha+\pi < 2\pi$ なので $\frac{\pi}{3} \leq \alpha < \pi$

$\frac{3\pi}{8} < \frac{2\pi}{3}$なので$\frac{3\pi}{8}$は条件を満たします。

$\alpha < \frac{2\pi}{3}$ である必要があるので$\tan \alpha \leq \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$。したがって$-\sqrt{3} < k \leq \tan \frac{2}{3}\pi = -\sqrt{3}$.

(4) (2)で求めた$\theta$の範囲における$\tan\theta=k$の解が2個あるときを考えているので$\tan\theta$は区間$\left[0, \frac{2}{3}\pi\right]$, $\left[\frac{4}{3}\pi, 2\pi\right]$

にある。このとき，tan$\theta=k$の二つの解を$\alpha, \beta$とおくと$\beta=\alpha+\pi$となる．したがって$\alpha+\beta=2\alpha+\pi \ge \frac{7}{4}\pi$

ゆえに$2\alpha \ge \frac{3}{4}\pi \implies \alpha \ge \frac{3}{8}\pi$, $\frac{3}{8}\pi\in \left[0, \frac{2}{3}\pi\right]$

$\tan\alpha = k \ge \tan\frac{3}{8}\pi$

$\alpha = \frac{2}{3}\pi$, $\beta = \frac{2}{3}\pi+\pi = \frac{5}{3}\pi$. $k = \tan \frac{2}{3}\pi= -\sqrt{3}$.

$\frac{5\pi}{3}$ は $\frac{4}{3}\pi \leq \beta < 2\pi$ に含まれる.

したがって$-\sqrt{3} < k \le -\tan\frac{3}{8}\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

(2) $0 \leq \theta \leq \frac{2}{3}\pi$, $\frac{4}{3}\pi \leq \theta < 2\pi$

(3) $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) (i) $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$

　 (ii) $-\sqrt{3}<k \leq -\tan\frac{3}{8}\pi$