与えられた問題は、次の定積分の値を求めることです。 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分の値を求めることです。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9}$

2. 解き方の手順

この定積分は、arctanの積分公式を用いて解くことができます。まず、積分を次のように書き換えます。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 3^2}$

ここで、$x = 3u$ と置換すると、$dx = 3du$ となります。積分の範囲も変わらず$-\infty$から$\infty$のままです。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{3du}{(3u)^2 + 3^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3du}{9u^2 + 9} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3du}{9(u^2 + 1)} = \frac{1}{3}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1}$

$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C$ であることを利用します。

$\frac{1}{3}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = \frac{1}{3} [\arctan(u)]_{-\infty}^{\infty}$

$\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$ であり、$\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$ なので、

$\frac{1}{3} [\arctan(\infty) - \arctan(-\infty)] = \frac{1}{3} [\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})] = \frac{1}{3} [\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}] = \frac{1}{3} \pi = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$