$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$であることを利用して式を変形します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$$

$\cos x$は$x \to 0$で1に近づくため、$\frac{1}{\cos x}$の極限は1です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$であることを利用します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$$

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$を利用します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を利用するために、$\frac{x}{2}$で割って$\frac{x}{2}$をかけます。

$$2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2 = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 \cdot \frac{1}{4} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$