次の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$ (3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$ (4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

1. 問題の内容

次の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$ の場合：

$x \to 0$のとき、$\tan^{-1}x \to 0$ となるので、これは $\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を用いることができます。

分子を微分すると $\frac{d}{dx} \tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$

分母を微分すると $\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0^2} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$ の場合：

$x \to 0$のとき、$x^2 \to 0$ かつ $e^x \to 1$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x} = \frac{0}{1} = 0$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$ の場合：

$x \to 0$のとき、$3^x - 2^x \to 1 - 1 = 0$ となるので、これは $\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を用いることができます。

分子を微分すると $\frac{d}{dx} (3^x - 2^x) = 3^x \log 3 - 2^x \log 2$

分母を微分すると $\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{3^x \log 3 - 2^x \log 2}{1} = 3^0 \log 3 - 2^0 \log 2 = \log 3 - \log 2 = \log \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$ の場合：

$x \to +0$ のとき、$\tan x \to 0$ なので、$\log(\tan x) \to -\infty$ となり、$x \log(\tan x)$ は $0 \cdot (-\infty)$ の不定形です。

これを $\frac{-\infty}{\infty}$ の形に変形してロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to +0} x \log(\tan x) = \lim_{x \to +0} \frac{\log(\tan x)}{\frac{1}{x}}$

分子を微分すると $\frac{d}{dx} \log(\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$

分母を微分すると $\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{\log(\tan x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{2}{\sin 2x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{-2x^2}{\sin 2x} = \lim_{x \to +0} \frac{-2x^2}{2x} = \lim_{x \to +0} -x = 0$ (ここで $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使った)

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) $\log \frac{3}{2}$

(4) 0