与えられた関数 $g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が条件 (I) x=1で極小値0をとる、条件 (II) 曲線D上に傾き$-1/3$の接線が一つ存在する、を満たすとき、空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

与えられた関数 $g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が条件 (I) x=1で極小値0をとる、条件 (II) 曲線D上に傾き$-1/3$の接線が一つ存在する、を満たすとき、空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、$g'(x)$ を計算する。

$g'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

条件 (I) より、$g(1) = 1 + a + b + c = 0$ かつ $g'(1) = 3 + 2a + b = 0$

$g'(1) = 0$ なので、ソは0。

よって、$b = -(2a + 3)$

$g(1) = 1 + a - (2a + 3) + c = 0$

$1 + a - 2a - 3 + c = 0$

$-a - 2 + c = 0$

$c = a + 2$

次に条件 (II) を考える。$g'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ であり、接線の傾きが $-1/3$ であるとき、$g'(x) = -1/3$ となる x がただ一つ存在する。

したがって、$3x^2 + 2ax + b = -1/3$

$3x^2 + 2ax - (2a + 3) = -1/3$

$3x^2 + 2ax - 2a - 3 + 1/3 = 0$

$3x^2 + 2ax - 2a - 8/3 = 0$

$9x^2 + 6ax - 6a - 8 = 0$

この2次方程式の判別式を D とすると、$D = (6a)^2 - 4(9)(-6a - 8) = 0$

$36a^2 + 36(6a + 8) = 0$

$36a^2 + 216a + 288 = 0$

$a^2 + 6a + 8 = 0$

$(a + 2)(a + 4) = 0$

$a = -2, -4$

もし $a = -2$ ならば $b = -(2(-2) + 3) = -( -4 + 3 ) = 1$

このとき $g(1) = 1 + a + b + c = 1 - 2 + 1 + c = 0$ より $c = 0$

$a = -2, b = 1, c = 0$ のとき $g(x) = x^3 - 2x^2 + x$ となる. $g'(x) = 3x^2 - 4x + 1$

もし $a = -4$ ならば $b = -(2(-4) + 3) = -(-8 + 3) = 5$

$g(1) = 1 + a + b + c = 1 - 4 + 5 + c = 0$ より $c = -2$

$a = -4, b = 5, c = -2$ のとき $g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ となる. $g'(x) = 3x^2 - 8x + 5$

また、$g'(x) = -1/3$を満たすxが存在する必要がある。

条件(I)より、関数$g(x)$はx=1で極値をとるから $g'(1) = 0$, すなわち$b=-(2a+3)$が成り立つ。

条件(II)より、$g'(x) = -1/3$の解が一つだけ存在するため、$9x^2+6ax-6a-8=0$ の判別式は0である。したがって、チは0である。

3. 最終的な答え

ツ：0

ナ：3

c：a+2

テ：-2a-3

ト：0

チ：0