(1) $\int \sin^{-1}x \, dx$ を計算する。 (2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} \, dx$ を、$\sin x = t$ とおいて計算する。

1. 問題の内容

(1) $\int \sin^{-1}x \, dx$ を計算する。

(2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} \, dx$ を、$\sin x = t$ とおいて計算する。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を使って $\int \sin^{-1} x \, dx$ を計算します。

$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。 $w = 1-x^2$ とおくと、$dw = -2x \, dx$ なので、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{dw}{\sqrt{w}} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} \, dx$ を、$\sin x = t$ とおいて計算します。

$t = \sin x$ とおくと、$dt = \cos x \, dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} \, dx = \int \frac{1}{1+t} \, dt = \log |1+t| + C = \log |1 + \sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} \, dx = \log |1 + \sin x| + C$