次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$ (3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$ (4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

$\tan^{-1} x$ のマクローリン展開は $\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ です。

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots}{x} = \lim_{x \to +0} (1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} - \cdots) = 1$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{1+x^2} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x}$

$x \to 0$ のとき、$x^2 \to 0$ かつ $e^x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x} = \frac{0^2}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{3^x - 2^x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{3^x \log 3 - 2^x \log 2}{1} = 3^0 \log 3 - 2^0 \log 2 = \log 3 - \log 2 = \log \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to +0} x \log(\tan x)$

$x \to +0$ のとき、$\tan x \to 0$ なので、$\log(\tan x) \to -\infty$ です。したがって、これは $0 \times (-\infty)$ の不定形です。

$x \log(\tan x) = \frac{\log(\tan x)}{1/x}$ と変形すると、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形になるので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{\log(\tan x)}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x} \cdot (-x^2) = \lim_{x \to +0} \frac{-x^2}{\sin x \cos x} = \lim_{x \to +0} \frac{-x}{\sin x} \cdot \frac{x}{\cos x} = \lim_{x \to +0} \frac{-x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to +0} \frac{x}{\cos x} = -1 \cdot \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) $\log \frac{3}{2}$

(4) 0