$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx$ (n=1, 2, 3, ...)と定義する。 (1) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$において、$\tan x \le x + 1 - \frac{\pi}{4}$ が成り立つことを示す。 (2) $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求める。 (3) $I_n + I_{n+2}$ の値を $n$ を用いて表す。 (4) (3)までの結果を用いて、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n}$ の和を求める。

1. 問題の内容

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx$ (n=1, 2, 3, ...)と定義する。

(1) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$において、$\tan x \le x + 1 - \frac{\pi}{4}$ が成り立つことを示す。

(2) $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求める。

(3) $I_n + I_{n+2}$ の値を $n$ を用いて表す。

(4) (3)までの結果を用いて、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x + 1 - \frac{\pi}{4} - \tan x$ とおく。$f'(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 1 - (1 + \tan^2 x) = - \tan^2 x$ である。

したがって、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において $f'(x) \le 0$ であるから、$f(x)$ は単調減少関数である。

$f(0) = 0 + 1 - \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - \frac{\pi}{4} > 0$ である。

したがって、$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ において $f(x) \ge f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + 1 - \frac{\pi}{4} - \tan \frac{\pi}{4} = 1 - 1 = 0$

よって、$\tan x \le x + 1 - \frac{\pi}{4}$ が成り立つ。

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ において、$0 \le \tan x \le 1$ である。

したがって、$0 \le \tan^{n+1} x \le \tan^n x$ であるから、$0 \le \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+1} x dx \le \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx$ となる。

つまり、$0 \le I_{n+1} \le I_n$ である。

また、$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$において、(1)の結果より $0 \le \tan x \le x + 1 - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + 1 - \frac{\pi}{4} = 1$

よって、$0 \le \tan^n x \le (\tan x)^n \le 1^n = 1$である。

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx \ge 0$である。

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx \le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan \frac{\pi}{4})^n dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 dx = \frac{\pi}{4}$である。

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx$において、$n \to \infty$のとき、

$0 \le \tan x < 1$ならば、$\tan^n x \to 0$

$\tan x = 1$ならば、$\tan^n x = 1$

したがって、$I_n \to 0$

$\lim_{n \to \infty} I_n = 0$

(3)

$I_n + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+2} x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x (1 + \tan^2 x) dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x (\tan x)' dx$

$t = \tan x$ とおくと、$dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_0^1 t^n dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$

$I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$

(4)

$I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$ より、$I_{2n} + I_{2n+2} = \frac{1}{2n+1}$

$I_{2n} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n} x dx$

$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 dx = \frac{\pi}{4}$

$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) dx = [\tan x - x]_0^{\frac{\pi}{4}} = 1 - \frac{\pi}{4}$

$I_0 + I_2 = \frac{\pi}{4} + 1 - \frac{\pi}{4} = 1$

$I_{2n+2} = \frac{1}{2n+1} - I_{2n}$

$I_{2n+2} + I_{2n+4} = \frac{1}{2n+3}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + ... = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

$x = 1$ を代入すると、$\log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $\tan x \le x + 1 - \frac{\pi}{4}$ （証明は上記参照）

(2) $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$

(3) $I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \frac{1}{2} \log 2$