与えられた3つの関数について、マクローリン展開（原点周りのテイラー展開）を$x^3$の項まで求めよ。関数は以下の通り。 (1) $(1+x^2) \cos x$ (2) $(2-x) \sqrt{1+x}$ (3) $e^{2x} \sin x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、マクローリン展開（原点周りのテイラー展開）を$x^3$の項まで求めよ。関数は以下の通り。

(1) $(1+x^2) \cos x$

(2) $(2-x) \sqrt{1+x}$

(3) $e^{2x} \sin x$

2. 解き方の手順

(1) $(1+x^2)\cos x$ の展開

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ である。

$x^3$の項までなので、$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ と近似する。

$(1+x^2)\cos x \approx (1+x^2)(1-\frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{2} + x^2 - \frac{x^4}{2} = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2}$

$x^3$の項までなので、 $1+\frac{x^2}{2}$

(2) $(2-x)\sqrt{1+x}$ の展開

$\sqrt{1+x}$ のマクローリン展開は $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \dots$ である。

$x^3$の項までなので、 $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$ と近似する。

$(2-x)\sqrt{1+x} \approx (2-x)(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3) = 2 + x - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x^3 - x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{16}x^4 = 2 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{16}x^4$

$x^3$の項までなので、$2-\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}x^3$

(3) $e^{2x} \sin x$ の展開

$e^{2x}$ のマクローリン展開は $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$ である。

$\sin x$ のマクローリン展開は $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ である。

$x^3$の項までなので、$e^{2x} \approx 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$ および $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$ と近似する。

$e^{2x} \sin x \approx (1+2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3)(x-\frac{x^3}{6}) = x - \frac{x^3}{6} + 2x^2 - \frac{x^4}{3} + 2x^3 - \frac{x^5}{3} + \frac{4}{3}x^4 - \frac{2}{9}x^6 = x + 2x^2 + \frac{11}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{x^5}{3}-\frac{2}{9}x^6$

$x^3$の項までなので、$x+2x^2+\frac{11}{6}x^3$

3. 最終的な答え

(1) $1 + \frac{x^2}{2}$

(2) $2 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{4}x^3$

(3) $x + 2x^2 + \frac{11}{6}x^3$