曲線 $C: x = \sin(\pi(t^2 + 1)), y = \cos(\pi(t^2 - 1))$ ($0 \le t \le 2$) の長さを求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: x = \sin(\pi(t^2 + 1)), y = \cos(\pi(t^2 - 1))$ ($0 \le t \le 2$) の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$を$t$で微分する。

$x(t) = \sin(\pi(t^2 + 1)) = \sin(\pi t^2 + \pi)$

$x'(t) = \cos(\pi t^2 + \pi) \cdot (2\pi t) = -2\pi t \cos(\pi t^2)$

$y(t) = \cos(\pi(t^2 - 1)) = \cos(\pi t^2 - \pi)$

$y'(t) = -\sin(\pi t^2 - \pi) \cdot (2\pi t) = 2\pi t \sin(\pi t^2)$

次に、曲線 $C$ の長さ $l$ は、次の式で与えられる。

$l = \int_{0}^{2} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt$

$(x'(t))^2 = (-2\pi t \cos(\pi t^2))^2 = 4\pi^2 t^2 \cos^2(\pi t^2)$

$(y'(t))^2 = (2\pi t \sin(\pi t^2))^2 = 4\pi^2 t^2 \sin^2(\pi t^2)$

$(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = 4\pi^2 t^2 \cos^2(\pi t^2) + 4\pi^2 t^2 \sin^2(\pi t^2) = 4\pi^2 t^2 (\cos^2(\pi t^2) + \sin^2(\pi t^2))$

$= 4\pi^2 t^2$

$\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = \sqrt{4\pi^2 t^2} = 2\pi |t|$

区間 $[0, 2]$ では $t \ge 0$ なので $|t| = t$ となる。

$l = \int_{0}^{2} 2\pi t dt = 2\pi \int_{0}^{2} t dt = 2\pi \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{0}^{2} = 2\pi \left( \frac{1}{2} (2^2) - \frac{1}{2} (0^2) \right) = 2\pi \left( \frac{1}{2} \cdot 4 \right) = 4\pi$

3. 最終的な答え

$4\pi$