自然数 $n$ に対して、積分 $\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx$ を$\Gamma$関数を使って表し、その値を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、積分 $\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx$ を$\Gamma$関数を使って表し、その値を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲が $-1$ から $1$ であり、被積分関数 $(1-x^2)^n$ が偶関数であることに着目し、積分範囲を $0$ から $1$ に変更し、積分値を2倍にする。

$\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx = 2 \int_{0}^1 (1-x^2)^n dx$

次に、$x = \sin \theta$ と置換する。すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となり、積分範囲は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ に変わる。

$2 \int_{0}^1 (1-x^2)^n dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 \theta)^n \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} (\cos^2 \theta)^n \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n+1} \theta d\theta$

ここで、$\cos^{2n+1} \theta$ の積分をベータ関数で表すことを考える。ベータ関数は以下のように定義される。

$B(x,y) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta d\theta$

したがって、$2x-1 = 0$ かつ $2y-1 = 2n+1$ となるように $x$ と $y$ を定めると、$x = \frac{1}{2}$ および $y = n+1$ となる。

$2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n+1} \theta d\theta = B(\frac{1}{2}, n+1)$

ベータ関数とガンマ関数の関係は以下の通りである。

$B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

したがって、

$B(\frac{1}{2}, n+1) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac{3}{2})}$

$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ であるから、

$B(\frac{1}{2}, n+1) = \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac{3}{2})}$

$\Gamma(n+1) = n!$ である。また、$\Gamma(n + \frac{3}{2}) = (n+\frac{1}{2})(n-\frac{1}{2}) \cdots (\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})$ である。

$\Gamma(n+\frac{3}{2}) = \frac{(2n+1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\pi}$

したがって、

$\frac{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac{3}{2})} = \frac{\sqrt{\pi} n!}{\frac{(2n+1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\pi}} = \frac{n! 2^{n+1}}{(2n+1)!!} = \frac{2^{n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}$

$\frac{(2n+1)!}{(n!)^2} = (2n+1) C_n$ (2n+1 から nを選ぶ組み合わせ)

$\frac{2^{n+1} n!}{(2n+1)!!} = \frac{2^{n+1} (n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{2^{n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx = \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac{3}{2})} = \frac{2^{2n+2}(n!)^2}{(2n+2)!} = \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{2^{2n+1}}{n+1} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!/(n+1)}$

$\frac{2^{2n+1}}{2n+1} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$

$\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} = \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}$

$\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{3}{2})}$

または

$\int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx = \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}$