以下の2つの二変数関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$

1. 問題の内容

以下の2つの二変数関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とすると、$r = \sqrt{x^2+y^2}$であり、$(x,y) \to (0,0)$は$r \to 0$に対応します。

よって、

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta \cdot r\sin\theta}{r} = \lim_{r \to 0} r\cos\theta\sin\theta$$

$|\cos\theta\sin\theta| \leq 1$であるため、

$$\lim_{r \to 0} |r\cos\theta\sin\theta| \leq \lim_{r \to 0} |r| = 0$$

したがって、$\lim_{r \to 0} r\cos\theta\sin\theta = 0$

(2) 極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とすると、

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta \cdot (r\sin\theta)^2}{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^4} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta + r^4\sin^4\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta}$$

$\cos \theta \ne 0$のとき、$r \to 0$で$\frac{r\cos\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta} \to 0$となります。

$x = y^2$に沿って近づくと

$$\lim_{y \to 0} \frac{y^2\cdot y^2}{y^4+y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$$

となるので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 極限は存在しない