関数 $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ のグラフと、$x$軸、直線 $x=1$、$x=-1$ で囲まれた部分の面積を求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ のグラフと、$x$軸、直線 $x=1$、$x=-1$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は定積分で求めることができます。

$S = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$ (Cは積分定数) を利用します。

この場合、$a=2$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \arcsin{\frac{x}{2}} + C$

したがって、

$S = \left[ \arcsin{\frac{x}{2}} \right]_{-1}^{1} = \arcsin{\frac{1}{2}} - \arcsin{\frac{-1}{2}}$

$\arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin{\frac{-1}{2}} = -\frac{\pi}{6}$ であるため、

$S = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$

## 問題2

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線（等角螺旋）

$\begin{cases}

x = e^{a\theta} \cos\theta \\

y = e^{a\theta} \sin\theta

\end{cases}$

（$0 \le \theta \le 2\pi$、$a \ne 0$）の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は以下の式で求められます。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} d\theta$

まず、$\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算します。

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(e^{a\theta} \cos\theta) = ae^{a\theta}\cos\theta - e^{a\theta}\sin\theta = e^{a\theta}(a\cos\theta - \sin\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(e^{a\theta} \sin\theta) = ae^{a\theta}\sin\theta + e^{a\theta}\cos\theta = e^{a\theta}(a\sin\theta + \cos\theta)$

次に、$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = [e^{a\theta}(a\cos\theta - \sin\theta)]^2 + [e^{a\theta}(a\sin\theta + \cos\theta)]^2$

$= e^{2a\theta}[(a\cos\theta - \sin\theta)^2 + (a\sin\theta + \cos\theta)^2]$

$= e^{2a\theta}[a^2\cos^2\theta - 2a\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta + a^2\sin^2\theta + 2a\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta]$

$= e^{2a\theta}[a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + (\sin^2\theta + \cos^2\theta)]$

$= e^{2a\theta}(a^2 + 1)$

したがって、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{e^{2a\theta}(a^2 + 1)} d\theta = \int_{0}^{2\pi} e^{a\theta}\sqrt{a^2 + 1} d\theta = \sqrt{a^2 + 1} \int_{0}^{2\pi} e^{a\theta} d\theta$

$= \sqrt{a^2 + 1} \left[ \frac{1}{a}e^{a\theta} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{\sqrt{a^2 + 1}}{a} (e^{2a\pi} - e^0) = \frac{\sqrt{a^2 + 1}}{a} (e^{2a\pi} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{a^2 + 1}}{a} (e^{2a\pi} - 1)$