与えられた関数の増減、凹凸、極限を調べ、グラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{e^x}{x^2}$ (2) $y = \frac{\log x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の増減、凹凸、極限を調べ、グラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{e^x}{x^2}$

(2) $y = \frac{\log x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{e^x}{x^2}$

* 定義域：$x \neq 0$

* 導関数を計算します。

$y' = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

* $y' = 0$ となる $x$ は $x = 2$ です。$x=0$は定義域に含まれないので除外します。

* $y'$ の符号を調べます。

* $x < 0$ のとき、$x-2 < 0$、$x^3 < 0$ なので、$y' > 0$

* $0 < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$、$x^3 > 0$ なので、$y' < 0$

* $x > 2$ のとき、$x-2 > 0$、$x^3 > 0$ なので、$y' > 0$

* 増減表を書くと以下のようになります。

| x | $(-\infty, 0)$ | 0 | $(0, 2)$ | 2 | $(2, \infty)$ |

| :---- | :------------- | :---- | :---------- | :----- | :------------ |

| y' | + | | - | 0 | + |

| y | 増加 | 不定義 | 減少 | $e^2/4$ | 増加 |

* 極値：$x = 2$ で極小値 $y = \frac{e^2}{4}$ をとります。

* 2階導関数を計算します。

$y'' = \frac{e^x (x-1)^2 + e^x}{x^4} = \frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^4}$

* $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 > 0$ なので、$y'' > 0$ (定義域において)。したがって、常に下に凸です。

* 極限を計算します。

* $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \infty$

* $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} = \infty$

* $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^2} = 0$

(2) $y = \frac{\log x}{x}$

* 定義域：$x > 0$

* 導関数を計算します。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ は $1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$ です。

* $y'$ の符号を調べます。

* $0 < x < e$ のとき、$1 - \log x > 0$ なので、$y' > 0$

* $x > e$ のとき、$1 - \log x < 0$ なので、$y' < 0$

* 増減表を書くと以下のようになります。

| x | $(0, e)$ | e | $(e, \infty)$ |

| :---- | :---------- | :---- | :------------ |

| y' | + | 0 | - |

| y | 増加 | $1/e$ | 減少 |

* 極値：$x = e$ で極大値 $y = \frac{1}{e}$ をとります。

* 2階導関数を計算します。

$y'' = \frac{-\frac{1}{x} x^2 - (1 - \log x)2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2\log x}{x^3}$

* $y'' = 0$ となる $x$ は $-3 + 2\log x = 0 \Rightarrow \log x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{3/2}$ です。

* $y''$ の符号を調べます。

* $0 < x < e^{3/2}$ のとき、$-3 + 2 \log x < 0$ なので、$y'' < 0$

* $x > e^{3/2}$ のとき、$-3 + 2 \log x > 0$ なので、$y'' > 0$

* 凹凸：$0 < x < e^{3/2}$ で上に凸、$x > e^{3/2}$ で下に凸。

* 変曲点：$x = e^{3/2}$ で変曲点を持ち、変曲点の $y$ 座標は $\frac{\log e^{3/2}}{e^{3/2}} = \frac{3/2}{e^{3/2}} = \frac{3}{2e^{3/2}}$

* 極限を計算します。

* $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$

* $\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{e^x}{x^2}$:

* 定義域: $x \neq 0$

* 極小値: $x = 2$ で $y = \frac{e^2}{4}$

* 凹凸: 常に下に凸

* 漸近線: $x=0$, $y=0$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \infty$, $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^2} = 0$

(2) $y = \frac{\log x}{x}$:

* 定義域: $x > 0$

* 極大値: $x = e$ で $y = \frac{1}{e}$

* 変曲点: $x = e^{3/2}$ で $y = \frac{3}{2e^{3/2}}$

* 凹凸: $0 < x < e^{3/2}$ で上に凸、$x > e^{3/2}$ で下に凸

* 漸近線: $x=0$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$, $\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x} = -\infty$