与えられた積分 $\int \frac{-2x}{\sqrt{2x+3}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{-2x}{\sqrt{2x+3}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

まず、$u = 2x+3$ と置くと、$du = 2dx$ となります。

また、$x = \frac{u-3}{2}$ と表せます。

したがって、

$\int \frac{-2x}{\sqrt{2x+3}} dx = \int \frac{-2(\frac{u-3}{2})}{\sqrt{u}} \frac{1}{2}du = \int \frac{-(u-3)}{\sqrt{u}} \frac{1}{2}du = -\frac{1}{2}\int \frac{u-3}{\sqrt{u}} du = -\frac{1}{2}\int (u^{1/2} - 3u^{-1/2})du$

次に、積分を計算します。

$-\frac{1}{2}\int (u^{1/2} - 3u^{-1/2})du = -\frac{1}{2} [\frac{2}{3}u^{3/2} - 3(2u^{1/2})] + C = -\frac{1}{3}u^{3/2} + 3u^{1/2} + C$

最後に、$u = 2x+3$ を代入します。

$-\frac{1}{3}(2x+3)^{3/2} + 3(2x+3)^{1/2} + C = (2x+3)^{1/2}(-\frac{1}{3}(2x+3) + 3) + C = (2x+3)^{1/2}(-\frac{2}{3}x - 1 + 3) + C = (2x+3)^{1/2}(-\frac{2}{3}x + 2) + C = \frac{2}{3}(2x+3)^{1/2}(-x + 3) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\sqrt{2x+3}(-x+3) + C$