自然数 $n$ について、定積分 $\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx$ を $\Gamma$ 関数を使って表し、その値を求める問題です。ただし、置換 $t = \frac{x+1}{2}$ を用いるように指示されています。

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、定積分 $\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx$ を $\Gamma$ 関数を使って表し、その値を求める問題です。ただし、置換 $t = \frac{x+1}{2}$ を用いるように指示されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた置換 $t = \frac{x+1}{2}$ を用いて、$x$ と $dx$ を $t$ で表します。

$t = \frac{x+1}{2}$ より、 $x = 2t - 1$ となります。

$dx = 2 dt$ となります。

次に、積分範囲を変換します。

$x = -1$ のとき、$t = \frac{-1+1}{2} = 0$

$x = 1$ のとき、$t = \frac{1+1}{2} = 1$

したがって、積分範囲は $0$ から $1$ に変わります。

これらの結果を元の積分に代入します。

$\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx = \int_{0}^{1} (1 - (2t-1)^2)^n (2 dt) = 2 \int_{0}^{1} (1 - (4t^2 - 4t + 1))^n dt = 2 \int_{0}^{1} (4t - 4t^2)^n dt = 2 \int_{0}^{1} 4^n (t - t^2)^n dt = 2 \cdot 4^n \int_{0}^{1} (t(1-t))^n dt = 2^{2n+1} \int_{0}^{1} t^n (1-t)^n dt$

ここで、ベータ関数 $B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$ を用いると、

$\int_{0}^{1} t^n (1-t)^n dt = B(n+1, n+1)$ となります。

ベータ関数は $\Gamma$ 関数を用いて $B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ と表せるので、

$B(n+1, n+1) = \frac{\Gamma(n+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)}$ となります。

$\Gamma(n+1) = n!$ であることを用いると、

$B(n+1, n+1) = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx = 2^{2n+1} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx = 2^{2n+1} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = 2^{2n+1} \frac{\Gamma(n+1)^2}{\Gamma(2n+2)}$