与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x=0$ における連続性を調べます。 (2) $x=0$ における左微分係数 $f'_{-}(0)$ と右微分係数 $f'_{+}(0)$ を求め、$x=0$ における微分可能性を調べます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x=0$ における連続性を調べます。

(2) $x=0$ における左微分係数 $f'_{-}(0)$ と右微分係数 $f'_{+}(0)$ を求め、$x=0$ における微分可能性を調べます。

2. 解き方の手順

(1) 連続性について

$x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件が満たされる必要があります。

i. $f(0)$ が定義されている。

ii. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

iii. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。$x \le 0$ の場合、$f(x) = (x+1)^2$ なので、$f(0) = (0+1)^2 = 1$ です。

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を調べます。左極限と右極限をそれぞれ計算します。

左極限：

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1)^2 = (0+1)^2 = 1$

右極限：

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$

左極限と右極限が一致するので、$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ です。

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であることを確認します。$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ であり、$f(0) = 1$ なので、条件は満たされます。

(2) 微分可能性について

$f'_{-}(0)$ と $f'_{+}(0)$ を計算します。

$f'_{-}(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(h+1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 + 2h + 1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 + 2h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h+2) = 2$

$f'_{+}(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{\sin h}{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h - h}{h^2}$

ここで、$\sin h$ のマクローリン展開を利用します。$\sin h = h - \frac{h^3}{3!} + \frac{h^5}{5!} - ...$

$f'_{+}(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - \frac{h^3}{3!} + \frac{h^5}{5!} - ... - h}{h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-\frac{h^3}{6} + \frac{h^5}{120} - ...}{h^2} = \lim_{h \to 0^+} (-\frac{h}{6} + \frac{h^3}{120} - ...) = 0$

$f'_{-}(0) = 2$ であり、$f'_{+}(0) = 0$ であるため、$f'_{-}(0) \ne f'_{+}(0)$ となり、$x=0$ において微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ において連続である。

(2) $f'_{-}(0) = 2$, $f'_{+}(0) = 0$, $x=0$ において微分可能ではない。