数列 $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \dots, \frac{1}{2n(2n+2)}$ の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \dots, \frac{1}{2n(2n+2)}$ の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列の各項は、部分分数分解を用いて変形することができます。一般項 $\frac{1}{2n(2n+2)}$ を部分分数分解すると、

$$\frac{1}{2n(2n+2)} = \frac{A}{2n} + \frac{B}{2n+2}$$

両辺に $2n(2n+2)$ を掛けると、

$$1 = A(2n+2) + B(2n)$$

$n = 0$ とすると $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$n = -1$ とすると $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$$\frac{1}{2n(2n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2} \right)$$

与えられた数列の和 $S$ は、

$$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k(2k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+2} \right)$$

$$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+2} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$$

この和はtelescoping sumとなるので、

$$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right]$$

$$= \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{n}{4(n+1)}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{4(n+1)}$