関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$ が $x = -2$ で極大値、 $x = 4$ で極小値をとるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$ が $x = -2$ で極大値、 $x = 4$ で極小値をとるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x = -2$ で極大値、$x = 4$ で極小値をとることから、$f'(-2) = 0$ かつ $f'(4) = 0$ が成り立つ。

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

次に、$f'(-2) = 0$ と $f'(4) = 0$ を計算する。

$f'(-2) = 3(-2)^2 + 2a(-2) + b = 12 - 4a + b = 0$

$f'(4) = 3(4)^2 + 2a(4) + b = 48 + 8a + b = 0$

したがって、次の連立方程式を得る。

$-4a + b = -12$

$8a + b = -48$

この連立方程式を解く。下の式から上の式を引くと

$(8a + b) - (-4a + b) = -48 - (-12)$

$12a = -36$

$a = -3$

$a = -3$ を $-4a + b = -12$ に代入する。

$-4(-3) + b = -12$

$12 + b = -12$

$b = -24$

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -24$