$y = |\log x|$, $y = 1$, および $x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ。

## 数学の問題の解答

問題の画像にある4つの問題のうち、(1)を解きます。

1. 問題の内容

$y = |\log x|$, $y = 1$, および $x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = |\log x|$のグラフを描きます。$y = \log x$のグラフを$x$軸に関して折り返したものが$y = |\log x|$のグラフになります。

次に、$y = |\log x|$と$y = 1$の交点を求めます。

$\log x = 1$の場合、$x = e$となります。

$-\log x = 1$の場合、$x = e^{-1} = 1/e$となります。

したがって、$y = |\log x|$と$y = 1$の交点は、$x = 1/e$と$x = e$です。

$x$軸との交点は、$y = |\log x| = 0$から、$x = 1$となります。

求める面積$S$は、以下の積分で表されます。

$S = \int_{1/e}^{1} (1 + \log x) dx + \int_{1}^{e} (1 - \log x) dx$

ここで、$\int \log x dx = x \log x - x$です。

したがって、

$S = [x + x\log x - x]_{1/e}^{1} + [x - x\log x + x]_{1}^{e}$

$S = [x \log x]_{1/e}^{1} + [2x - x\log x]_{1}^{e}$

$S = (0 - (1/e)(-1)) + (2e - e - (2 - 0))$

$S = 1/e + e - 2$

3. 最終的な答え

$S = e + \frac{1}{e} - 2$