与えられた定積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分を求めます。これは $\arctan(x)$ です。したがって、

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$$

次に、定積分の定義に従って計算を行います。

$$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{dx}{1+x^2}$$

積分を実行すると、

$$\lim_{b \to \infty} [\arctan(x)]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} (\arctan(b) - \arctan(0))$$

ここで、$\arctan(0) = 0$ であり、$\lim_{b \to \infty} \arctan(b) = \frac{\pi}{2}$ であるため、

$$\lim_{b \to \infty} (\arctan(b) - \arctan(0)) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

したがって、

$$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$