問題は、広義積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を、積分範囲の端点で特異点を持つため、極限を用いて計算するものです。具体的には、 $\lim_{\epsilon, \epsilon' \to +0} \int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon'} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、広義積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を、積分範囲の端点で特異点を持つため、極限を用いて計算するものです。具体的には、

$\lim_{\epsilon, \epsilon' \to +0} \int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon'} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。これは逆三角関数の積分であり、

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) + C$

となります。ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon'} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(1-\epsilon') - \arcsin(-1+\epsilon)$

ここで、$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$、$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ であることを利用して、$\epsilon, \epsilon' \to 0$ の極限を取ります。

$\lim_{\epsilon, \epsilon' \to 0} \arcsin(1-\epsilon') - \arcsin(-1+\epsilon) = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$