与えられた累次積分 $\int_{0}^{4} dy \int_{y}^{2\sqrt{y}} f(x, y) dx$ について、以下の問いに答えます。 (1) この累次積分が定義される領域Dをxy平面に図示してください。 (2) この累次積分の積分の順序を変更してください。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた累次積分 $\int_{0}^{4} dy \int_{y}^{2\sqrt{y}} f(x, y) dx$ について、以下の問いに答えます。

(1) この累次積分が定義される領域Dをxy平面に図示してください。

(2) この累次積分の積分の順序を変更してください。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dの図示

まず、与えられた累次積分の積分範囲を調べます。積分範囲は以下の通りです。

$y \le x \le 2\sqrt{y}$

$0 \le y \le 4$

これらの不等式が表す領域Dをxy平面に図示します。

$x = y$ と $x = 2\sqrt{y}$ の交点を求めます。

$y = 2\sqrt{y}$

$y^2 = 4y$

$y(y - 4) = 0$

よって、$y = 0, 4$ となります。

$y=0$ のとき $x=0$, $y=4$ のとき $x=4$

つまり、交点は $(0, 0)$ と $(4, 4)$ です。

また、$x = 2\sqrt{y}$ を $y$ について解くと、

$x^2 = 4y$ より

$y = \frac{x^2}{4}$

となります。

したがって、領域Dは、$y = x$ と $y = \frac{x^2}{4}$ で囲まれた領域であり、$0 \le y \le 4$ の範囲にあります。

(2) 積分の順序の変更

積分の順序を変更するには、領域Dをxについて先に積分するように変更します。

積分範囲は、$x$ について $0 \le x \le 4$ であり、$y$ について $\frac{x^2}{4} \le y \le x$ となります。

したがって、積分の順序を変更した後の累次積分は、

$\int_{0}^{4} dx \int_{\frac{x^2}{4}}^{x} f(x, y) dy$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 領域Dは、$y = x$ と $y = \frac{x^2}{4}$ で囲まれた領域であり、$0 \le y \le 4$ の範囲にあります。（グラフの図示は省略）

(2) 積分の順序を変更した後の累次積分は、

$\int_{0}^{4} dx \int_{\frac{x^2}{4}}^{x} f(x, y) dy$

となります。