定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx$ を計算してください。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

与えられた積分を2つの積分に分解します。

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{1+x^2} dx$$

それぞれの積分を計算します。

1つ目の積分は、$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$ なので、

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan(x)]_{0}^{\sqrt{3}} = \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$$

2つ目の積分は、$u = 1+x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変わるので、$x=0$ のとき $u = 1+0^2 = 1$、$x=\sqrt{3}$ のとき $u = 1+(\sqrt{3})^2 = 1+3 = 4$ となります。

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{1+x^2} dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_{1}^{4} = \frac{1}{2} (\ln 4 - \ln 1) = \frac{1}{2} (\ln 4 - 0) = \frac{1}{2} \ln 4 = \frac{1}{2} \ln (2^2) = \ln 2$$

したがって、元の積分は

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{3} + \ln 2$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} + \ln 2$