与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to \infty$ のとき、$x$ は限りなく大きくなります。$\sin x$ は $-1 \leq \sin x \leq 1$ の範囲の値をとるので、$\frac{\sin x}{x}$ は $x$ が大きくなるにつれて0に近づきます。したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ となります。

具体的には、はさみうちの原理を使います。

$-1 \leq \sin x \leq 1$ より、

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ かつ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

(2) $x \to 0$ のとき、$x$ は0に近づきます。$\sin \frac{1}{x}$ は $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ の範囲の値をとるので、$x \sin \frac{1}{x}$ は $x$ が0に近づくにつれて0に近づきます。したがって、$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$ となります。

具体的には、はさみうちの原理を使います。

$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ より、

$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

(2) $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$