次の等式が成り立つことを示す問題です。ここで $A \neq 0$ です。 $$ (\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}} $$

1. 問題の内容

次の等式が成り立つことを示す問題です。ここで $A \neq 0$ です。

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(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}

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2. 解き方の手順

左辺を微分して右辺になることを示します。

合成関数の微分公式を使用します。

まず、$\log |x|$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用します。

$x + \sqrt{x^2 + A}$ を $u$ とおくと、

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(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = (\log|u|)' = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}

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ここで、$u = x + \sqrt{x^2 + A}$ なので、

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\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot (2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}

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\frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}

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したがって、

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(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + A}}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}

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これで左辺を微分すると右辺になることが示されました。

3. 最終的な答え

$(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$