曲線 $y = \log x$ 上の点 $A(e, 1)$ における接線と法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ 上の点 $A(e, 1)$ における接線と法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{1}{x}$

次に、$x = e$ のときの $y'$ の値を求めます。これが点 A における接線の傾きになります。

$y'(e) = \frac{1}{e}$

接線の傾きが $\frac{1}{e}$ であり、点 A($e$, 1) を通ることから、接線の方程式は次のようになります。

$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$

これを整理して、接線の方程式を求めます。

法線は接線と直交する直線なので、法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を反転させたものになります。つまり、法線の傾きは $-e$ です。

法線の傾きが $-e$ であり、点 A($e$, 1) を通ることから、法線の方程式は次のようになります。

$y - 1 = -e(x - e)$

これを整理して、法線の方程式を求めます。

3. 最終的な答え

接線の方程式:

$y = \frac{1}{e}x$

法線の方程式:

$y = -ex + e^2 + 1$