関数 $f(x) = x^3 + 3x^2$ の極大値、極小値を求め、$-3 \le x \le a$ における最大値を求める問題。ただし、$a > -3$とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2$ の極大値、極小値を求め、$-3 \le x \le a$ における最大値を求める問題。ただし、$a > -3$とする。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$の微分を計算し、極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$

$f'(x) = 0$となるのは $x = 0$ と $x = -2$ のとき。

$x < -2$で$f'(x)>0$, $-2 < x < 0$で$f'(x) < 0$, $x > 0$で$f'(x) > 0$ なので、$x = -2$ で極大値、 $x = 0$ で極小値をとる。

極大値は$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$

極小値は$f(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$

したがって、アイ = -2, ウ = 4, エ = 0, オ = 0

次に、$-3 \le x \le a$ における$f(x)$ の最大値を考えます。

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 = -27 + 27 = 0$

$-3 < a < -2$のとき、最大値は$f(-2) = 4$

$a \ge -2$のとき、最大値は$f(a) = a^3 + 3a^2$

$-3 < a < 0$のとき、最大値は4

$a \ge 0$のとき、最大値は $a^3 + 3a^2$

$-3 < a < 0$のとき $f(-2) = 4$が最大値となります。

$f(a) = a^3 + 3a^2$と $f(-2) = 4$を比較します。

$a^3 + 3a^2 = 4$

$a^3 + 3a^2 - 4 = 0$

$(a-1)(a^2+4a+4) = 0$

$(a-1)(a+2)^2 = 0$

$a = 1, -2$

$-3 < a < 1$のとき最大値は4

$a \ge 1$のとき最大値は$a^3 + 3a^2$

したがって、カキ = 1, ク = 1のとき、

$-3 < a < 1$のとき、最大値は 4

$a \ge 1$のとき、最大値は $a^3 + 3a^2$

$a \ge 1$のとき、$f(a) = a^3 + 3a^2 = a(a^2) + 3(a^2)$

$-3<a<1$ のとき $f(x)$は最大値4をとる

$1 \le a$のとき $f(x)$は最大値 $a^3 + 3a^2$をとる

問題文から$a$ の一次式の係数を求める必要がありそうです

$-3 < a < -2$ のとき、最大値は$f(-2) = 4$

$-2 \le a < 0$ のとき、最大値は$f(-2) = 4$

$0 \le a$ のとき、最大値は$f(a) = a^3 + 3a^2$

したがって $-3 < a < 0$のとき最大値は4

$f(a)$と4の大小を比較する

$f(a) = a^3+3a^2$

$f(a) > 4$

$a^3 + 3a^2 - 4 > 0$

$(a-1)(a+2)^2 > 0$

$a > 1$

$-3 < a < 1$のとき $f(x)$は最大値4

$1 \le a$のとき $f(x)$は最大値 $a^3 + 3a^2$

カキ = 0 および $a \ge 0$ のとき$f(x)$は最大値$a^3 + 3a^2$をとる

カキ = 0, ク = 0

$-3<a<0$のとき最大値4

$0 \le a$のとき最大値$a^3 + 3a^2$

$-3 < a < 1$ および $a \ge 1$

$f(1) = 1 + 3 = 4$

$-3 < a < 1$ のとき、$f(x)$ の最大値は 4

$a \ge 1$ のとき、$f(x)$ の最大値は $a^3 + 3a^2$

$a < 1$ で $f(-2) = 4$が最大値を取る

$f(a) = a^3 + 3a^2$

カキ=1

ク=1

サ= $a^3 + 3a^2$

と予想

$-3 < a < 0$ のとき、最大値は 4

3. 最終的な答え

アイ = -2

ウ = 4

エ = 0

オ = 0

カキ = 1

ク = 1

ケ = 3

コ = 1

サ = 4