関数 $y = \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数を微分するために、商の微分公式を使用します。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = e^{2x}$、$v = e^{2x} + 1$ とおきます。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$

$v' = \frac{d}{dx}(e^{2x} + 1) = 2e^{2x}$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}(e^{2x} + 1) - e^{2x}(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - 2e^{4x}}{(e^{2x} + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$