関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $f(x) = xe^{-2x}$ の導関数を求める。

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$e^{-2x} > 0$ より、$1-2x = 0$、つまり $x = \frac{1}{2}$ である。

$x < \frac{1}{2}$ のとき $f'(x) > 0$、 $x > \frac{1}{2}$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$x = \frac{1}{2}$ で極大値をとる。

極大値は $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$

次に、2階導関数を求める。

$f''(x) = -2e^{-2x}(1-2x) + e^{-2x}(-2) = -2e^{-2x} + 4xe^{-2x} - 2e^{-2x} = e^{-2x}(4x-4)$

$f''(x) = 0$ となる $x$ は、$4x-4 = 0$、つまり $x = 1$ である。

$x < 1$ のとき $f''(x) < 0$ (上に凸)、 $x > 1$ のとき $f''(x) > 0$ (下に凸) なので、$x = 1$ で変曲点を持つ。

変曲点の $y$ 座標は $f(1) = 1 \cdot e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

増減表は以下の通り。

```

x | ... | 1/2 | ... | 1 | ...

-------|-------|------|-------|-----|-------

f'(x) | + | 0 | - | - | -

f''(x) | - | - | - | 0 | +

f(x) | 増加(上に凸) | 1/2e | 減少(上に凸) | 1/e^2 | 減少(下に凸)

```

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = 0$ (ロピタルの定理より)

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{2x}} = -\infty$

グラフの概形は、x が負の方向に大きくなるにつれて $-\infty$ に発散し、 $x = 0$ で $f(0) = 0$ となる。$x$ が増えるにつれて増加し、$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとる。その後、減少し、$x = 1$ で変曲点 $(\frac{1}{e^2})$ を持ち、$x \to \infty$ で $0$ に近づく。

3. 最終的な答え

(1)

増減：$x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少。

極値：$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$。極小値なし。

凹凸：$x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸。

変曲点：$(1, \frac{1}{e^2})$

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

グラフの概形は上記の説明の通り。